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“不给力啊,老湿!”:RSA加密与破解

时间:2019-12-12 20:14:45 出处:5分时时彩官网_5分时时彩平台_5分时时彩网站

作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢!

加密和解密是自古完整版算是技术了。一个劲看多侦探电影的桥段,勇敢又机智的主角,拿着一长串毫无意义的数字苦恼,忽然灵光一闪,翻出一本厚书,将第另有有好几个 数字对应页码数,第好几个 数字对应行数,第另有有好几个 数字对应那一行的某个词。数字变成了一串非常有意义语句:

Eat the beancurd with the peanut. Taste like the ham.

主角喜极而泣……

你这名 加密最好的法律依据是将可是的一种生活生活信息按照某个规律打乱。一种生活生活打乱的最好的法律依据就叫做密钥(cipher code)。发出信息的人根据密钥来给信息加密,而接收信息的人利用相同的密钥,来给信息解密。就好像另有有好几个 带锁的盒子。发送信息的人将信息倒入盒子里,用钥匙锁上。而接受信息的人则用相同的钥匙打开。加密和解密用的是同另有有好几个 密钥,你这名 加密称为对称加密(symmetric encryption)。

将会一对一语句,没办法 两人须要交换另有有好几个 密钥。一对多语句,比如总部和多个特工的通信,依然都须要使用同一套密钥。但你这名 具体情况下,对手偷到另有有好几个 密钥语句,就知道所有交流的信息了。二战中盟军的情报战成果,你这名都来自于破获你这名 对称加密的密钥。

二战中德军的传奇加密机:Enigma

为了更安全,总部须要给每个特工都设计另有有好几个 不同的密钥。将会是FBI可是庞大的机构,恐怕不难 维护没办法 多的密钥。在现代社会,每买车人的信用卡信息都须要加密。一一设计密钥语句,银行怕是要跪了。

对称加密的薄弱之占据 于给了不多人的钥匙。将会只给特工锁,而总部保有钥匙,那就容易了。特工将信息用锁锁到盒子里,谁也打不开,除非到总部用唯一的一把钥匙打开。可是可是语句,特工每次出门完整版算是带上你这名锁,太容易被识破身份了。总部老大想了想,干脆就把造锁的技术公开了。特工,将会任何其它人,都须要就地取材,按照图纸造锁,但无法根据图纸发明者家 钥匙。钥匙还都可不里能 了总部的那一把。

顶端的关键是锁和钥匙工艺不同。知道了锁,无须能知道钥匙。可是,银行都须要将“造锁”的最好的法律依据签署 给所有用户。每个用户都须要用锁来加密买车人的信用卡信息。即使被别人窃听到,可是用担心:还都可不里能 了银行才有钥匙呢!可是一种生活生活加密算法叫做非对称加密(asymmetric encryption)。非对称加密的经典算法是RSA算法。它来自于数论与计算机计数的奇妙结合。

为了了解RSA加密,请听另有有好几个 卧底的自白:

RSA加密

我是潜伏在龙凤大酒楼的卧底。想让下面信息以加密的最好的法律依据发送到总部:

A CHEF HIDE A BED

厨子藏起来了一张床!这是没办法 的重要,须要立即通知总部。千万重要的是,还都可不里能 了让反革命的厨子知道。

第一步是转码,也可是将英文转加进某个对应的数字。你这名 对应很容易建立,比如:

A B C D E F G H I
1 2 3 4 5 6 7 8 9

将顶端的信息转码,获得下面的数字序列:



A CHEF HIDE A BED 1 3856 8945 1 254

这串数字完整版没办法 那先 秘密可言。厨子发现了这串数字日后,很容易根据数字顺序,对应字母表猜出来。

为了和狡猾的厨子斗智斗勇,朋友须要对这串数字进一步加密。使用总部发给朋友的锁,另有有好几个 数字:3和10。朋友分为两步外理。

第一步是求乘方。第另有有好几个 数字是3,也可是说,总部指示朋友,求顶端数字串的3次方:

原字符串: 1   3   8   5   6   8   9   4   5   1   2   5   4

三次乘方: 1  27 512 125 216 512 729  64 125   1   8 125  64

第二步是求余数。第好几个 上锁的数字是10,将顶端每个三次乘方除以10,获得其余数:

余数: 1 7 2 5 6 2 9 4 5 1 8 5 4

将这串数字发回总部。中途被厨子偷看多,但一时还都可不里能 了了解其中的意思。将会还是像刚才一样对应字母表语句,信息是:

AGBEFBIDEAHED

这串字母完整版不带有正常的单词。

信息到了总部。总部始于用神奇的钥匙来解读。你这名 钥匙是3。(偷偷告诉你的,别告诉厨子。)

(这里钥匙不小心和日后锁中的另有有好几个 数字相同。这可是巧合。)

解锁过程也是两步。第一步求钥匙次的乘方,即3次方。第二步求它们除以10(锁之一)的余数。

加密信息:1   7   2   5   6   2   9   4   5   1   8   5   4

三次乘方:1 343   8 125 216   8 729  64 125   1 512 125  64 (这里用的是钥匙的“3”)

除十得余:1   3   8   5   6   8   9   4   5   1   2   5   4

正是朋友发送的信息。对应字母表,总部都须要立即知道可是的信息。

特工练习

再次强调,为了演示方便,选着了简单的锁和钥匙。锁和钥匙可是凑巧相同。为此,朋友做另有有好几个 小练习。

练习:总部新签署 出来的锁是2987(次乘方)和3937(为除数)。

1) 作为特工,用顶端的算法为信息加密(你将会须要你这名编程来计算,尝试用Python的数学计算功能?)。

猜到钥匙是那先 了呢?完整版算是顶端另有有好几个 数字中的任何另有有好几个 ,可是143!

2) 作为值班人员,验证143是钥匙,都须要解密信息。

为了简便,可是你只检验另有有好几个 简单的信息,比如“IE”。

下面是我根据你这名 练习写的另有有好几个 Python小应用多多线程 。这里的转码用的是ASCII编码标准,而完整版算是顶端的A对应1,B对应2。

# By Vamei

#==== Agent ========
# coding covert: string to number
# By ASCII convention
def convert(original):
    return map(ord, original)

# the input is a list of integers
def encrypt(input_list):
    f = lambda x: (x**2987)%3937
    return map(f, input_list)

#==== Headquarter =====
# the input is the result of the encrypt function
def decrypt(encrypted_list):
    f = lambda x: (x**143)%3937
    return map(f, encrypted_list)

# convert numbers back to a string
def inv_convert(decrypt_list):
    f = lambda x: str(unichr(x))
    result = map(f, decrypt_list)
    return "".join(result)

# Test
message = "Go to hell!"
secret = encrypt(convert(message))
print(secret)
public = inv_convert(decrypt(secret))
print(public)

费马与欧拉

发觉买车人被愚弄了,厨子很生气,后果很严重。厨子发奋看多书,知道了你这名 加密最好的法律依据叫RSA,是三为发明者家 人 R. Rivest, A. Shamir和L. Adelman名字首字母合起来的。RSA算法是1977年发明者家 的。全称是RSA Public Key System。你这名 "Public Key"是公共密钥,也可是朋友顶端说的锁。再读下去,厨子大窘。你这名 1977年的,现代计算机加密的RSA算法,你造源于17世纪。

1. 费马小定律

RSA的原理借助了数论中的“欧拉定理”(Euler's theorem)。17世纪的费马首先给出另有有好几个 该定理的特殊形式,即“费马小定理”:

p是另有有好几个 正的质数,a是任意另有有好几个 还都可不里能 了被p整除的整数。没办法 ,[$a^{p-1} - 1$]能被p整除。

朋友无须须要太深了入了解费马小定理,将会等下就会看多你这名 定理的“升级版”。但你这名 定理依然很美妙,它优美的得到乘方和整除的一种生活生活特殊关系。使用另有有好几个 例子来说明它。比如[$p = 7,a = 3$]。没办法 费马小定律表示,[$3^{ 7 - 1} - 1$]都须要被7整除。

事实上,顶端的数字计算得到[$3^6 - 1 = 728$],它我我随便说说都须要被7整除。

练习:尝试另有有好几个 其它的例子,比如[$p = 5, a = 4$],验证费马小定律算是成立。

*** 数学小贴士:

1) 除 (divide),商余数:另有有好几个 整数相除,有另有有好几个 为整数的商,和另有有好几个 余数。比如[$10/3 = 3, \,余1$]。朋友用另有有好几个 有点硬的最好的法律依据记录你这名 叙述:

$$10 \equiv 1 (mod\, 3)$$

也都须要写成另一种生活生活最好的法律依据:

$$[10]_3 = [1]_3$$

你这名 表述最好的法律依据与“10除以3,得3余1”可是的最好的法律依据并没办法 那先 区别。但采用标准的数学最好的法律依据更容易和别人交流。

将会朋友知道:

$$[a]_n = [b]_n$$

没办法 占据 某个整数t,且:

$$a = nt + b$$

2) 整除 (divisible):当另有有好几个 整数a除以可是整数b,余数为0时,没办法 朋友说a都须要被b整除。比如说,4都须要被2整除。即

$$[4]_2 = [0]_2$$

3) 质数 (prime number):另有有好几个 质数是还都可不里能 了被[$ \pm 1$]和你这名 数自身整除的整数(不包括[$ \pm 1$])。比如[$2,3,5,7,11,13$]等等。

******

费马是一名律师,也是一名业余数学家。他对数学贡献很大,堪称“业余数学家之王”。比如他和帕斯卡的通信算是概率论的开端。还有“费马大定理”,将会称为“费马猜想”。费马有在书边写注释的习惯。他在页边角写下了费马猜想,并说:

我发现了另有有好几个 美妙的证明,但将会空白太小而没办法 写下来。

费马买车人的证明没办法 再被发现。“费马猜想”的证明是30多年后,以现代数学为工具证得的,而那先 数学工具在费马的时代是不占据 的。这意味现代的数学家怀疑费马是完整版算是在吹牛。费马小定理是费马的可是定理。在费马那里,也还是个猜想。证明要等到欧拉。

应用多多线程 员们:注释要完整版啊!

2. 欧拉定律

时间流过一百年。欧拉是18世纪的瑞典数学家。这位数学巨人写了75本数学专著,几乎把当时所有的数学领域都征服了一遍。欧拉可是被叶卡捷琳娜二世邀请到俄国。据说,无神论者狄徳罗造访俄国,他宣称上帝无须占据 ,靠雄辩击败了整个俄国宫廷。欧拉曾醉心神学,对上帝很虔诚。欧拉看不下去了,上前说,“先生,[$e^{i\pi} + 1= 0$],你这名上帝占据 。请回答!” 狄徳罗败给你这名 问题,灰溜溜的走了。

(你这名 传说的可信度不高,将会狄徳罗买车人也是一位颇有造诣的数学家。)

欧拉定理(Euler's theorem)是欧拉在证明费马小定理的过程中,发现的另有有好几个 适用性更广的定理。

首先定义另有有好几个 函数,叫做欧拉Phi函数,即[$\phi(n)$],其中,n是另有有好几个 正整数。

$$\phi(n) = 总数(从1到n-1,与n互质的整数)$$

比如5,没办法 1,2,3,4,都与5互质。与5互质的数有另有有好几个 。[$\phi(5) = 4$]

再比如6,与1,5互质,与2,3,4无须互质。可是,[$\phi(6) = 2$]

对于另有有好几个 质数p来说,它和1, 2, 3, ..., p - 1都互质,你这名[$\phi(p) = p - 1$]。比如[$\phi(7) = 6, \phi(11) = 10$]

*** “互质”的数学小贴士:

1) 因子 (factor):每个整数都都须要写成质数相乘的形式,每个可是的质数称为该整数的另有有好几个 因子。

2) 互质 (relative prime):将会另有有好几个 整数没办法 公共因子,这另有有好几个 质数互质。

******

欧拉定理叙述如下:

将会n是另有有好几个 正整数,a是任意另有有好几个 非0整数,且n和a互质。没办法 ,[$a^{\phi(n)} - 1$]都须要被n整除。  (1)

将会质数p有[$\phi(p) = p - 1$]。可是,从欧拉定理都须要推出费马小定理。朋友都须要只使用欧拉定理,把费马小定理抛到脑后了。朋友用另有有好几个 例子简单的检验欧拉定理。将会n是6,没办法 [$\phi(6) = 2$]。让a是11,和6互质。[$11^2 - 1$]为120,我我随便说说都须要被n,也可是6整除,符合欧拉定理。

数学中还有另有有好几个 关于Phi函数的推论

m和n是互质的正整数。没办法 ,[$\phi(mn) = \phi(m) \phi(n)$]        (2)

RSA西游记

下面朋友要进入实质的证明。除了顶端的(1)和(2)推论,还须要提前说明另有有好几个 问题,即:

[$[ab]_n = [a]_n[b]_n$]        (3)

证明:假设a和b除以n的余数为[$c_1, c_2$]。a和b都须要写成[$a = nt_1 + c_1, b = nt_2 + c_2$]。没办法 ,[$ab = n^2t_1t_2 + nt_1c_2 + nt_2c_1 + c_1c_2$]。可是ab除以n的余数为[$c_1c_2$]。即[$[ab]_n = [a]_n[b]_n$]。

根据此都须要推论,[$[a^m]_n = [a]_n^m$]。

演一出叫做“西游记”的大戏,选角始于:

先选着另有有好几个 质数p和q,分别是沙和尚和白龙马。让[$n = pq$],n是唐僧。一路向西,唐僧靠的是沙和尚和白龙马出力:另有有好几个 背行李,另有有好几个 驮人。

而[$k = \phi(n) = (p - 1)(q - 1)$]。这里使用了(2)以及“质数p的Phi函数值为p-1”。k是八戒,也可是Phi(唐僧),可是唐僧的另有有好几个 跟屁虫。

选着任意d,并保证它与k互质。d是观音。观音姐姐在高老庄,真的是把八戒给“质”了一把。

取整数e,使得[$[de]_k = [1]_k$]。也可是说[$de = kt + 1$],t为某一整数。e是悟空,横行无忌。

朋友记得公开的用来上锁的另有有好几个 数字,它们分别是悟空e和唐僧n。悟空威力大,负责乘方。唐僧太唠叨:一切妖怪见到它,就变成了余数。悟空和唐僧合作 ,就把世界搞乱了。

总部的观音姐姐d看不下去了。观音姐姐威力也大,也是乘方。再逼着唐僧重新唠叨。世界就恢复了。

善哉,善哉!

朋友看一下你这名 魔幻大片“西游记”的现实主义原理。根据欧拉定理(1),对于任意z,将会z与n互质,没办法 :

$$[z^{\phi(n)}]_n = [z^k]_n = [1]_n$$

可是,

$$[z^{de}]_n = [z^{kt + 1}]_n = [(z^k)^tz]_n =  [z]_n$$

顶端主要使用了[$de = kt + 1$]以及(3)。也可是说:

$$[z^{de}]_n = [z]_n$$

根据(3)的推论,有

$$([z^e]_n)^d = [z]_n$$

妖怪z,经过e和d的各一道,又变回了妖!顶端过程中,悟空e和观音d忙得不亦乐乎,唐僧n就在一旁边唠叨边打酱油了。

你这名 等式,也正是朋友加密又解密的过程 (加密: 悟空次方 + 唐僧唠叨。解密: 观音次方 + 唐僧唠叨)。悟空和唐僧是公钥,扔出去亮相。观音是私钥,偷偷藏起来,必要的日后才出来。

(顶端都默认余数是最小正余数,也可是说,10除以3的余数为1,而完整版算是4。尽管4也都须要算是10的余数,即[$[4]_3 = [10]_3$]。)

姐姐,饶了我吧。

3和8另有有好几个 妖怪见到唐僧5,都被唠叨成了余数3。可是就观音姐姐就算法力无边,还是没办法 还原。为了让唐僧求余的日后,不用把数字弄混了,RSA算法要求所有妖怪z小于唐僧n。为了对足够多的字符转码加密,n须要大过最大的妖怪。

但唐僧n大更重要的意味是要保护马仔。想破解,须要找到观音。回顾朋友选着角色的过程。朋友都须要可是破解:唐僧n是公开的,1) 先找到它的隐藏手下沙和尚和白龙马。2) 沙和尚和白龙马知道了,没办法 二师兄k就保不住了。3) de = kt + 1,即找到另有有好几个 e,都须要让de - 1被k整除。观音姐姐就找到了。

顶端的整个破解过程中,最困难的是第一步,即找到另有有好几个 隐藏的打手。通常,p和q算是选的非常大,比如说30位。这意味唐僧n也非常大,有30位。寻找另有有好几个 30位数字的质数分解无须容易,朋友要做的除法运算次数大慨为[$\sqrt{10^{30}}/2$]。这是[$10^{199}$]次除法运算!天河2号每秒浮点运算是[$10^{16}$]级别。没办法 ,找到隐藏打手的工作,大慨须要[$10^{174}$]年……。你这名 活,看来还都可不里能 了佛祖干了。

练习 将会唐僧缺乏大语句,马仔就危险了。想想日后的厨子,知道悟空是3,唐僧是10。隐藏打手是谁? 八戒呢? 观音呢?

总之,带头大哥缺乏“罩”语句,团伙就要被一窝端了。

总结

正如我在“数学与编程”中提到的,数学都须可是应用多多线程 员军火库带有力的武器。加密、解密你这名 事关IT安全的大课题,却和数论你这名 纯粹数人学科占据 奇妙的关系。RSA算法的数学基础在于欧拉定理。你这名 诞生了几百年没办法 那先 实用性的数学理论,却在网络时代,找到买车人的栖身之处。

RSA算法是非对称算法。公开的加密最好的法律依据,私有的解密最好的法律依据。RSA安全的关键在于不难 对另有有好几个 大的整数进行因子分解。下一次,将会看多RSA被破解类似的消息,卧底须要大喊一声:“不给力呀,老湿!”

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